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可持久化平衡树

可持久化无旋转 Treap

前置知识

OI 常用的可持久化平衡树 一般就是 可持久化无旋转 Treap 所以推荐首先学习 无旋转 Treap。

思想/做法

对于非旋转 Treap，可通过 Merge 和 Split 操作过程中复制路径上经过的节点（一般在 Split 操作中复制，确保不影响以前的版本）就可完成可持久化。

对于旋转 Treap，在复制路径上经过的节点同时，还需复制受旋转影响的节点（若其已为这次操作中复制的节点，则无需再复制），对于一次旋转一般只影响两个节点，那么不会增加其时间复杂度。

上述方法一般被称为 path copying。

「一切可支持操作都可以通过 Merge Split Newnode Build 完成」，而 Build 操作只用于建造无需理会，Newnode（新建节点）就是用来可持久化的工具。

我们来观察一下 Merge 和 Split，我们会发现它们都是由上而下的操作！

因此我们完全可以 参考线段树的可持久化操作 对它进行可持久化。

可持久化操作

可持久化 是对 数据结构 的一种操作，即保留历史信息，使得在后面可以调用之前的历史版本。

对于 可持久化线段树 来说，每一次新建历史版本就是把 沿途的修改路径 复制出来

那么对可持久化 Treap（目前国内 OI 常用的版本）来说：

在复制一个节点 \(X_{a}\)（\(X\) 节点的第 \(a\) 个版本）的新版本 \(X_{a+1}\)（\(X\) 节点的第 \(a+1\) 个版本）以后：

  • 如果某个儿子节点 \(Y\) 不用修改信息，那么就把 \(X_{a+1}\) 的指针直接指向 \(Y_{a}\)（\(Y\) 节点的第 \(a\) 个版本）即可。
  • 反之，如果要修改 \(Y\)，那么就在 递归到下层 时 新建 \(Y_{a+1}\)（\(Y\) 节点的第 \(a+1\) 个版本）这个新节点用于 存储新的信息，同时把 \(X_{a+1}\) 的指针指向 \(Y_{a+1}\)（\(Y\) 节点的第 \(a+1\) 个版本）。

可持久化

需要的东西：

  • 一个 struct 数组 存 每个节点 的信息（一般叫做 tree 数组）；（当然写 指针版 平衡树的大佬就可以考虑不用这个数组了）

  • 一个 根节点数组，存每个版本的树根，每次查询版本信息时就从 根数组存的节点 开始；

  • split() 分裂 从树中分裂出两棵树

  • merge() 合并 把两棵树按照随机权值合并

  • newNode() 新建一个节点

  • build() 建树

Split

对于 分裂操作，每次分裂路径时 新建节点 指向分出来的路径，用 std::pair 存新分裂出来的两棵树的根。

split(x,k) 返回一个 std::pair;

表示把 \(_x\) 为根的树的前 \(k\) 个元素放在 一棵树 中，剩下的节点构成在另一棵树中，返回这两棵树的根（first 是第一棵树的根，second 是第二棵树的）。

  • 如果 \(x\) 的 左子树 的 \(key \geq k\)，那么 直接递归进左子树，把左子树分出来的第二颗树和当前的 \(x\) 右子树 合并。
  • 否则递归 右子树。

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static std::pair<int, int> _split(int _x, int k) {
  if (_x == 0)
    return std::make_pair(0, 0);
  else {
    int _vs = ++_cnt;  // 新建节点（可持久化的精髓）
    _trp[_vs] = _trp[_x];
    std::pair<int, int> _y;
    if (_trp[_vs].key <= k) {
      _y = _split(_trp[_vs].leaf[1], k);
      _trp[_vs].leaf[1] = _y.first;
      _y.first = _vs;
    } else {
      _y = _split(_trp[_vs].leaf[0], k);
      _trp[_vs].leaf[0] = _y.second;
      _y.second = _vs;
    }
    _trp[_vs]._update();
    return _y;
  }
}

Merge

merge(x,y) 返回 merge 出的树的根。

同样递归实现。如果 x 的随机权值>y 的随机权值，则 merge(x_{rc},y)，否则 merge(x,y_{lc})。

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static int _merge(int _x, int _y) {
  if (_x == 0 || _y == 0)
    return _x ^ _y;
  else {
    if (_trp[_x].fix < _trp[_y].fix) {
      _trp[_x].leaf[1] = _merge(_trp[_x].leaf[1], _y);
      _trp[_x]._update();
      return _x;
    } else {
      _trp[_y].leaf[0] = _merge(_x, _trp[_y].leaf[0]);
      _trp[_y]._update();
      return _y;
    }
  }
}

可持久化 WBLT

前置知识

可持久化 WBLT 由 WBLT 改动而来，所以首先学习 WBLT。

思想/做法

使用 路径复制 的方法，将一次操作中 修改过 的节点复制下来，不能影响之前的节点。

处理懒标记

为了处理懒标记，我们这样考虑：在一棵持久化的 WBLT 上，一个点可能有多个父亲，但是儿子数量只能是 \(0\) 或 \(2\) 个。pushdown 的下放懒标记的操作，只会影响它的儿子，我们对一个点进行 pushdown，是没有影响的；反而是它的儿子，它的儿子可能不止它一个父亲，将它的标记下放到儿子，可能导致在别的父亲的版本上，多了一个不属于那个版本的懒标记，这就错了；除非它的儿子只有它一个父亲。所以我们应该在 pushdown 的时候，复制一遍儿子，把懒标记打到新的儿子上。

实现路径复制

在进行路径复制的时候，我们可以定义一个 refresh 函数，它接受一个节点 \(p\) 的引用，表示把节点 \(p\) 复制一下，产生一个新的节点，重新赋值给 \(p\)。使用 refresh 函数的原则是，如果它将要被修改，或者它拥有的儿子即将发生变动（而不是它的儿子的信息将要被修改），那么就 refresh 它，否则不需要。

对于静态的查询，除了 pushdown 之外都不用 refresh。如果保证什么操作都做路径复制，那么 pushdown 和 refresh 的顺序是无所谓的。

针对持久化 WBLT 的小优化

这里有一个优化。观察到 pushdown 的时候要复制两个节点，可以写标记永久化，但是刚才说了，如果它的儿子只有它一个父亲，可以不用复制。针对这一个性质，可以进行优化，以减少复制多余的节点。

考虑记录每个节点有多少个父亲（认为每个版本的根都有一个父亲），记为 \(use\)。每次 refresh 的时候，如果 \(use\leq 1\) 则不需要重新复制节点，否则新建节点，并且 \(use\) 自减 \(1\)，表示父亲带着这个儿子跑了，这样父亲就可以随意修改新的节点而不影响其它版本。另外每次复制节点的时候，如果节点有儿子，那么两个儿子的 \(use\) 自增 \(1\)；合并两个子树时，返回的节点对两个儿子也有一个父亲的 \(use\)；删除节点时，两个子节点都丢失一个父亲：这样能优化一些时空。

代码实现

完整代码（可持久化文艺平衡树） 
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#include <cstring>
#include <iostream>
#include <utility>
using namespace std;
using LL = long long;

template <int N>
struct WBLT {
  static constexpr double alpha = 0.292;
  int ch[N << 1][2], siz[N << 1], tot, root, tsh[N << 1], tct;
  int val[N << 1];
  LL sum[N << 1];
  bool rev[N << 1];
  int use[N << 1];

  WBLT() { root = newnode(-(int)((1u << 31) - 1)); }

  bool isleaf(int p) { return !ch[p][0]; }

  void destroy(int p) { tsh[++tct] = p; }

  void clone(int p, int q) {
    memcpy(ch[p], ch[q], sizeof ch[0]);
    val[p] = val[q];
    siz[p] = siz[q];
    sum[p] = sum[q];
    rev[p] = rev[q];
    if (!isleaf(p)) {
      use[ch[p][0]] += 1;
      use[ch[p][1]] += 1;
    }
  }

  int newnode(LL v) {
    int p = tct ? tsh[tct--] : ++tot;
    memset(ch[p], 0, sizeof ch[p]);
    val[p] = v;
    siz[p] = 1;
    sum[p] = v;
    rev[p] = false;
    use[p] = 1;
    return p;
  }

  void refresh(int &p) {
    if (use[p] <= 1) return;
    use[p] -= 1;
    int q = exchange(p, newnode(0));
    clone(p, q);
  }

  void maintain(int p) {  // also known as: pushup
    if (isleaf(p)) return;
    val[p] = val[ch[p][1]];
    sum[p] = sum[ch[p][0]] + sum[ch[p][1]];
    siz[p] = siz[ch[p][0]] + siz[ch[p][1]];
  }

  void spread(int &p) {
    if (isleaf(p)) return;
    refresh(p);
    rev[p] ^= 1;
  }

  void pushdown(int p) {
    if (!rev[p] || isleaf(p)) return;
    spread(ch[p][0]), spread(ch[p][1]);
    swap(ch[p][0], ch[p][1]);
    rev[p] = false;
  }

  void rotate(int p, int r) {
    if (isleaf(p) || isleaf(ch[p][r])) return;
    refresh(ch[p][r]);
    pushdown(ch[p][r]);
    int q = ch[p][r];
    swap(ch[p][0], ch[p][1]);
    swap(ch[p][r], ch[q][r]);
    swap(ch[q][0], ch[q][1]);
    maintain(q);
    maintain(p);
  }

  void update(int p) {  // also known as: maintain
    if (isleaf(p)) return;
    int r = siz[ch[p][0]] < siz[ch[p][1]];
    if (siz[ch[p][!r]] >= siz[p] * alpha) return;
    refresh(ch[p][r]);
    pushdown(ch[p][r]);
    if (siz[ch[ch[p][r]][!r]] >= siz[ch[p][r]] * (1 - alpha * 2) / (1 - alpha))
      rotate(ch[p][r], !r);
    rotate(p, r);
  }

  void insert(int &p, int v, int k) {
    refresh(p);
    pushdown(p);
    int r = siz[ch[p][0]] < k;
    if (isleaf(p)) {
      ch[p][0] = newnode(val[p]);
      ch[p][1] = newnode(v);
    } else {
      if (r) k -= siz[ch[p][0]];
      insert(ch[p][r], v, k);
    }
    maintain(p);
    update(p);
  }

  void erase(int &p, int k) {
    refresh(p);
    pushdown(p);
    int r = siz[ch[p][0]] < k;
    if (isleaf(ch[p][r])) {
      use[ch[p][0]] -= 1;
      use[ch[p][1]] -= 1;
      clone(p, ch[p][!r]);
    } else {
      if (r) k -= siz[ch[p][0]];
      erase(ch[p][r], k);
    }
    maintain(p);
    update(p);
  }

  int merge(int p, int q) {
    if (!p || !q) return p + q;
    if (min(siz[p], siz[q]) >= alpha * (siz[p] + siz[q])) {
      int t = newnode(0);
      ch[t][0] = p, use[p] += 1;
      ch[t][1] = q, use[q] += 1;
      maintain(t);
      return t;
    }
    if (siz[p] >= siz[q]) {
      pushdown(p);
      if (siz[ch[p][0]] >= alpha * (siz[p] + siz[q])) {
        return merge(ch[p][0], merge(ch[p][1], q));
      } else {
        pushdown(ch[p][1]);
        return merge(merge(ch[p][0], ch[ch[p][1]][0]),
                     merge(ch[ch[p][1]][1], q));
      }
    } else {
      pushdown(q);
      if (siz[ch[q][1]] >= alpha * (siz[p] + siz[q])) {
        return merge(merge(p, ch[q][0]), ch[q][1]);
      } else {
        pushdown(ch[q][0]);
        return merge(merge(p, ch[ch[q][0]][0]),
                     merge(ch[ch[q][0]][1], ch[q][1]));
      }
    }
  }

  void split(int p, int k, int &x, int &y) {
    if (!k) return x = 0, y = p, void();
    if (isleaf(p)) return x = p, y = 0, void();
    pushdown(p);
    if (k <= siz[ch[p][0]]) {
      split(ch[p][0], k, x, y);
      y = merge(y, ch[p][1]);
    } else {
      split(ch[p][1], k - siz[ch[p][0]], x, y);
      x = merge(ch[p][0], x);
    }
  }

  LL getsum(int L, int R, int &p, int l, int r) {
    if (L <= l && r <= R) return sum[p];
    pushdown(p);
    int mid = l + siz[ch[p][0]] - 1;
    LL ret = 0;
    if (L <= mid) ret += getsum(L, R, ch[p][0], l, mid);
    if (mid < R) ret += getsum(L, R, ch[p][1], mid + 1, r);
    return ret;
  }

  LL getsum(int &p, int L, int R) { return getsum(L + 1, R + 1, p, 1, siz[p]); }
};

WBLT<6400010> t;
int m;
int root[500010];

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  cin >> m;
  root[0] = t.root;
  LL lastans = 0;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    LL op, l, r;
    int v;
    cin >> v >> op >> l;
    t.use[root[i] = root[v]] += 1;
    if (op != 2) cin >> r;
    l ^= lastans, r ^= lastans;
    int x, y, z;
    switch (op) {
      case 1:
        t.insert(root[i], r, l + 1);
        break;
      case 2:
        t.erase(root[i], l + 1);
        break;
      case 3:
        t.split(root[i], l, x, y);
        t.split(y, r - l + 1, y, z);
        t.spread(y);
        root[i] = t.merge(x, t.merge(y, z));
        break;
      case 4:
        cout << (lastans = t.getsum(root[i], l, r)) << endl;
        break;
    }
  }
  return 0;
}

例题

洛谷 P3835【模版】可持久化平衡树

你需要实现一个数据结构，要求提供如下操作（最开始时数据结构内无数据）：

  1. 插入 \(x\) 数；
  2. 删除 \(x\) 数（若有多个相同的数，应只删除一个，如果没有请忽略该操作）；
  3. 查询 \(x\) 数的排名（排名定义为比当前数小的数的个数 + 1）；
  4. 查询排名为 \(x\) 的数；
  5. 求 \(x\) 的前驱（前驱定义为小于 \(x\)，且最大的数，如不存在输出 \(-2\,147\,483\,647\)）；
  6. 求 \(x\) 的后继（后继定义为大于 \(x\)，且最小的数，如不存在输出 \(2\,147\,483\,647\)）。

以上操作均基于某一个历史版本，同时生成一个新的版本（操作 3, 4, 5, 6 即保持原版本无变化）。而每个版本的编号则为操作的序号。特别地，最初的版本编号为 0。

就是 普通平衡树 一题的可持久化版，操作和该题类似。

只是使用了可持久化的 merge 和 split 操作。

推荐的练手题

  1. 「Luogu P3919」可持久化数组（模板题）

  2. 「Codeforces 702F」T-shirt

  3. 「Luogu P5055」可持久化文艺平衡树

  4. 「Luogu P5350」序列

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