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贝尔数

贝尔数 \(B_n\) 以埃里克·坦普尔·贝尔命名，是组合数学中的一组整数数列，开首是（OEIS A000110）：

\[ B_0 = 1,B_1 = 1,B_2=2,B_3=5,B_4=15,B_5=52,B_6=203,\dots \]

\(B_n\) 是基数为 \(n\) 的集合的划分方法的数目。集合 \(S\) 的一个划分是定义为 \(S\) 的两两不相交的非空子集的族，它们的并是 \(S\)。例如 \(B_3 = 5\) 因为 3 个元素的集合 \({a, b, c}\) 有 5 种不同的划分方法：

\[ \begin{aligned} &\{ \{a\},\{b\},\{c\}\} \\ &\{ \{a\},\{b,c\}\} \\ &\{ \{b\},\{a,c\}\} \\ &\{ \{c\},\{a,b\}\} \\ &\{ \{a,b,c\}\} \\ \end{aligned} \]

\(B_0\) 是 1 因为空集正好有 1 种划分方法。

递推公式

贝尔数适合递推公式：

\[ B_{n+1}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}B_{k} \]

证明：

\(B_{n+1}\) 是含有 \(n+1\) 个元素集合的划分个数，设 \(B_n\) 的集合为 \(\{b_1,b_2,b_3,\dots,b_n\}\)，\(B_{n+1}\) 的集合为 \(\{b_1,b_2,b_3,\dots,b_n,b_{n+1}\}\)，那么可以认为 \(B_{n+1}\) 是有 \(B_{n}\) 增添了一个 \(b_{n+1}\) 而产生的，考虑元素 \(b_{n+1}\)。

  • 假如它被单独分到一类，那么还剩下 \(n\) 个元素，这种情况下划分数为 \(\dbinom{n}{n}B_{n}\);

  • 假如它和某 1 个元素分到一类，那么还剩下 \(n-1\) 个元素，这种情况下划分数为 \(\dbinom{n}{n-1}B_{n-1}\)；

  • 假如它和某 2 个元素分到一类，那么还剩下 \(n-2\) 个元素，这种情况下划分数为 \(\dbinom{n}{n-2}B_{n-2}\)；

  • ……

以此类推就得到了上面的公式。

每个贝尔数都是相应的 第二类斯特林数 的和。 因为第二类斯特林数是把基数为 \(n\) 的集合划分为正好 \(k\) 个非空集的方法数目。

\[ B_{n} = \sum_{k=0}^n{n\brace k} \]

贝尔三角形

用以下方法构造一个三角矩阵（形式类似杨辉三角形）：

  • \(a_{0,0} = 1\)；
  • 对于 \(n \ge 1\)，第 \(n\) 行首项等于上一行的末项，即 \(a_{n,0}=a_{n-1,n-1}\)；
  • 对于 \(m,n \ge 1\)，第 \(n\) 行第 \(m\) 项等于它左边和左上角两个数之和，即 \(a_{n,m}=a_{n,m-1}+a_{n-1,m-1}\)。

部分结果如下：

\[ \begin{aligned} & 1 \\ & 1\quad\qquad 2 \\ & 2\quad\qquad 3\quad\qquad 5 \\ & 5\quad\qquad 7\quad\qquad 10\,\,\,\qquad 15 \\ & 15\,\,\,\qquad 20\,\,\,\qquad 27\,\,\,\qquad 37\,\,\,\qquad 52 \\ & 52\,\,\,\qquad 67\,\,\,\qquad 87\,\,\,\qquad 114\qquad 151\qquad 203\\ & 203\qquad 255\qquad 322\qquad 409\qquad 523\qquad 674\qquad 877 \\ \end{aligned} \]

每行的首项是贝尔数。可以利用这个三角形来递推求出贝尔数。

参考实现 
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constexpr int MAXN = 2000 + 5;
int bell[MAXN][MAXN];

void f(int n) {
  bell[0][0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    bell[i][0] = bell[i - 1][i - 1];
    for (int j = 1; j <= i; j++)
      bell[i][j] = bell[i - 1][j - 1] + bell[i][j - 1];
  }
}

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MAXN = 2000 + 5
bell = [[0 for i in range(MAXN + 1)] for j in range(MAXN + 1)]


def f(n):
    bell[0][0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        bell[i][0] = bell[i - 1][i - 1]
        for j in range(1, i + 1):
            bell[i][j] = bell[i - 1][j - 1] + bell[i][j - 1]

指数生成函数

考虑贝尔数的指数生成函数及其导函数：

\[ \begin{aligned} \hat B(x) &= \sum_{n = 0}^{+\infty}\frac{B_n}{n!}x^n \\ &= 1 + \sum_{n = 0}^{+\infty}\frac{B_{n+1}}{(n + 1)!}x^{n + 1} \\ \hat B'(x) &= \sum_{n = 0}^{+\infty}\frac{B_{n+1}}{n!}x^{n} \end{aligned} \]

根据贝尔数的递推公式可以得到：

\[ \frac{B_{n+1}}{n!} = \sum_{k = 0}^{n}\frac{1}{(n-k)!}\frac{B_{k}}{k!} \]

这是一个卷积的式子，因此有：

\[ \hat B'(x) = \mathrm{e}^x \hat B(x) \]

这是一个微分方程，解得：

\[ \hat B(x) = \exp\left(\mathrm{e}^x + C\right) \]

最后当 \(x = 0\) 时 \(\hat B(x) = 1\)，带入后解得 \(C = -1\)，得到贝尔数指数生成函数的封闭形式：

\[ \hat B(x) = \exp\left(\mathrm{e}^x - 1\right) \]

预处理出 \(\mathrm{e}^x - 1\) 的前 \(n\) 项后做一次 多项式 exp 即可得出贝尔数前 \(n\) 项，时间复杂度瓶颈在多项式 exp，可做到 \(O(n \log n)\) 的时间复杂度。

参考文献

https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number

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