跳转至

IDA*

前置知识：A* 算法、迭代加深搜索。

本页面将简要介绍 IDA * 算法。

定义

IDA * 为采用了迭代加深算法的 A * 算法。

优点

由于 IDA * 改成了深度优先的方式，相对于 A * 算法，它的优点如下：

  1. 不需要判重，不需要排序，利于深度剪枝。
  2. 空间需求减少：每个深度下实际上是一个深度优先搜索，不过深度有限制，使用 DFS 可以减小空间消耗。

缺点

  1. 重复搜索：即使前后两次搜索相差微小，回溯过程中每次深度变大都要再次从头搜索。

实现（伪代码）

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Procedure IDA_STAR(StartState)
Begin
  PathLimit := H(StartState) - 1;
  Succes := False;
  Repeat
    inc(PathLimit);
    StartState.g = 0;
    Push(OpenStack, StartState);
    Repeat
      CurrentState := Pop(OpenStack);
      If Solution(CurrentState) then
        Success = True
      Elseif PathLimit >= CurrentState.g + H(CurrentState) then
        For each Child(CurrentState) do
          Push(OpenStack, Child(CurrentState));
    until Success or empty(OpenStack);
  until Success or ResourceLimtsReached;
end;

例题

埃及分数

在古埃及，人们使用单位分数的和（即 \(\frac{1}{a}\)，\(a\in\mathbb{N}^*\)）表示一切有理数。例如，\(\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\)，但不允许 \(\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\)，因为在加数中不允许有相同的。

对于一个分数 \(\frac{a}{b}\)，表示方法有很多种，其中加数少的比加数多的好，如果加数个数相同，则最小的分数越大越好。例如，\(\frac{19}{45}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}\) 是最优方案。

输入整数 \(a,b\)（\(0<a<b<500\)），试编程计算最佳表达式。

样例输入：

1
495 499

样例输出：

1
Case 1: 495/499=1/2+1/5+1/6+1/8+1/3992+1/14970
解题思路

这道题目理论上可以用回溯法求解，但是解答树会非常「恐怖」——不仅深度没有明显的上界，而且加数的选择理论上也是无限的。换句话说，如果用宽度优先遍历，连一层都扩展不完，因为每一层都是 无限大 的。

解决方案是采用迭代加深搜索：从小到大枚举深度上限 \(\textit{maxd}\)，每次执行只考虑深度不超过 \(\textit{maxd}\) 的节点。这样，只要解的深度有限，则一定可以在有限时间内枚举到。

深度上限 \(\mathit{maxd}\) 还可以用来 剪枝。按照分母递增的顺序来进行扩展，如果扩展到 i 层时，前 \(i\) 个分数之和为 \(\frac{c}{d}\)，而第 \(i\) 个分数为 \(\frac{1}{e}\)，则接下来至少还需要 \(\frac{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}}{\frac{1}{e}}\) 个分数，总和才能达到 \(\frac{a}{b}\)。例如，当前搜索到 \(\frac{19}{45}=\frac{1}{5}+\frac{1}{100}+\cdots\)，则后面的分数每个最大为 \(\frac{1}{101}\)，至少需要 \(\frac{\frac{19}{45}-\frac{1}{5}}{\frac{1}{101}}=23\) 项总和才能达到 \(\frac{19}{45}\)，因此前 \(22\) 次迭代是根本不会考虑这棵子树的。这里的关键在于：可以估计至少还要多少步才能出解。

注意，这里使用 至少 一词表示估计都是乐观的。形式化地，设深度上限为 \(\textit{maxd}\)，当前结点 \(n\) 的深度为 \(g(n)\)，乐观估价函数为 \(h(n)\)，则当 \(g(n)+h(n)>\textit{maxd}\) 时应该剪枝。这样的算法就是 IDA*。当然，在实战中不需要严格地在代码里写出 \(g(n)\) 和 \(h(n)\)，只需要像刚才那样设计出乐观估价函数，想清楚在什么情况下不可能在当前的深度限制下出解即可。

如果可以设计出一个乐观估价函数，预测从当前结点至少还需要扩展几层结点才有可能得到解，则迭代加深搜索变成了 IDA * 算法。

示例代码 
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

constexpr int MAX_E = 1e7;
int a, b;
vector<int> ans;
vector<int> current;

bool better() { return ans.empty() || current.back() < ans.back(); }

long long gcd(long long x, long long y) { return y ? gcd(y, x % y) : x; }

bool dfs(int d, long long a, long long b, int e) {
  if (d == 0) {
    if (a == 0 && better()) ans = current;
    return a == 0;
  }

  long long _gcd = gcd(a, b);
  a /= _gcd;
  b /= _gcd;

  bool solved = false;
  // the min value of e:
  // a/b - 1/e >= 0
  // e >= b/a
  int e1 = max(e + 1, int((b + a - 1) / a));
  // b/a <= e <= MAX_E
  // b/a <= MAX_E
  if (b > a * MAX_E) {
    return false;
  }
  for (;; e1++) {
    // the max value of e:
    // d * (1/e) >= a/b
    // d/e >= a/b
    if (d * b < a * e1) {
      return solved;
    }
    current.push_back(e1);
    // a/b - 1/e
    solved |= dfs(d - 1, a * e1 - b, b * e1, e1);
    current.pop_back();
  }
  return solved;
}

int solve() {
  ans.clear();
  current.clear();
  for (int maxd = 1; maxd <= 100; maxd++)
    if (dfs(maxd, a, b, 1)) return maxd;
  return -1;
}

int main() {
  int kase = 0;
  while (cin >> a >> b) {
    int maxd = solve();
    cout << "Case " << ++kase << ": ";
    if (maxd > 0) {
      cout << a << "/" << b << "=";
      for (int i = 0; i < maxd - 1; i++) cout << "1/" << ans[i] << "+";
      cout << "1/" << ans[maxd - 1] << "\n";
    } else
      cout << "No solution.\n";
  }
  return 0;
}

习题

本页面最近更新：，更新历史
发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：OI-wiki
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用